Tout comprendre sur la règle de Simpson : formule, démonstration, exemples et exercices corrigés

Principe de la règle de Simpson

La règle de Simpson est une méthode d’estimation d’intégrales qui repose sur l’idée d’utiliser un polynôme de degré 2 pour approximer une fonction. En effet, cette méthode s’appuie sur un principe fondamental : remplacer la fonction à intégrer par un trinôme qui passe à travers plusieurs points clés.

Cette approche est particulièrement utile lorsque l’on souhaite évaluer l’aire sous la courbe d’une fonction sur un intervalle donné. Plus précisément, la règle de Simpson fonctionne en divisant l’intervalle d’intégration en sous-intervalles de manière à créer des sections dont les bords sont les points d’évaluation.

Comment fonctionne la méthode ?

Le principe de la règle de Simpson consiste à procéder de la manière suivante :

• Division de l’intervalle : On divise l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles de largeur égale, où n est un nombre pair.
• Points d’évaluation : On évalue la fonction aux points de bout et au point central de chaque sous-intervalle, créant ainsi des points d’évaluation alternant entre les extrémités.
• Interpolation par un trinôme : On construit une fonction polynomiale de degré 2 (trinôme) à partir des valeurs de la fonction aux points d’évaluation.
• Somme pondérée : On combine les intégrales des polynômes obtenus pour estimer l’intégrale définie.

Ce processus applique efficacement une somme pondérée qui améliore la précision des intégrations, surtout par rapport à des méthodes plus simples comme celle des trapèzes.

Formule de la règle de Simpson

La formule de Simpson s’énonce comme suit :

Pour une fonction f qui est continue sur l’intervalle [a, b], l’intégrale peut être approximée par la formule :

I(f) ≈ (b – a) / 6 * (f(a) + 4 * f(m) + f(b))

où m est le point au milieu de l’intervalle, soit m = (a + b) / 2. Cette formule est valide pour n=2 (deux sous-intervalles).

Cette formule est utile pour comprendre le fonctionnement de la règle et pour faire une première estimation de l’intégrale en n’utilisant que quelques points d’évaluation. La somme des produits des fonctions évaluées aux extrémités et au centre permet de capturer la courbure de la fonction, ce qui est essentiel dans l’estimation de l’aire sous la courbe.

Démonstration mathématique de la règle de Simpson

La démonstration de la règle de Simpson repose sur l’utilisation des polynômes interpolateurs et sur la capacité à approximer une fonction continue par un trinôme. Le but est de montrer comment cette méthode fournit une estimation précise pour l’intégrale d’une fonction.

Pour un intervalle [a, b], ce processus s’appuie sur trois points d’évaluation : a, m, et b, où m est le point central entre a et b. La fonction approximée peut alors être exprimée génériquement par un trinôme :

P(x) = A(x – a)(x – m) + B(x – m)(x – b) + C(x – a)(x – b)

En intégrant ce polynôme sur l’intervalle [a, b], on peut développer l’intégrale pour connaître son expression exacte, puis procéder à une évaluation numérique.

Le calcul de chaque intégrale séparément, suivi de leur somme, permet d’aboutir à la formule finale de la règle de Simpson.

Exemples d’application de la règle de Simpson

Pour illustrer l’application de la règle de Simpson, prenons l’exemple de l’intégration de la fonction f(x) = x^2 sur l’intervalle [0, 1]. On souhaite calculer l’intégrale définie :

I = ∫(0 to 1) x^2 dx

Cette approximation montre que la règle de Simpson fournit une estimation raisonnablement précise pour l’intégrale, tout en nécessitant peu de calculs. Des exercices corrigés peuvent aider à solidifier ces concepts.

Exercices corrigés sur la règle de Simpson

Pour assurer la compréhension de la règle de Simpson, des exercices pratiques sont essentiels. Voici quelques exercices accompagnés de leurs solutions :

1. Calcule l’intégrale de f(x) = sin(x) sur [0, π].
2. Utilise la règle de Simpson pour déterminer l’intégrale de f(x) = e^x sur [0, 1].
3. Estime l’aire sous la courbe de f(x) = ln(x) sur [1, 2].

### Solutions :

• Exercice 1: I ≈ (π – 0) / 6 * (sin(0) + 4*sin(π/2) + sin(π)) = (π/6)*(0 + 4*1 + 0) = 2π/6 = π/3.
• Exercice 2: I ≈ (1 – 0) / 6 * (e^0 + 4*e^(0.5) + e^1).
• Exercice 3: I ≈ (2 – 1) / 6 * (ln(1) + 4*ln(1.5) + ln(2)).

Ces exercices permettent de vérifier la compréhension et de s’assurer que la règle peut être appliquée sur différentes fonctions.

Applications pratiques de la règle de Simpson

La règle de Simpson trouve des applications dans divers domaines :

• 🔬 En sciences: pour calculer des valeurs d’intégrales définies dans le cadre d’expériences scientifiques.
• 📈 En économie: pour évaluer des coûts et des bénéfices sur des périodes données.
• 🌍 En géographie: pour estimer des surfaces sur des cartes topographiques.
• 🧬 En biologie: pour des estimations de volumes ou d’aires dans les études de croissance cellulaire.

Ces cas montrent à quel point la méthode peut être polyvalente, rendant les calculs accessibles à divers professionnels.