Permutations circulaires : démonstration, exemples, exercices résolus

Introduction

Les permutations circulaires sont un concept fondamental en combinatoire, permettant de dénombrer les arrangements circulaires d’objets distincts, avec des applications variées en mathématiques et en informatique.​

Définition des permutations circulaires

Une permutation circulaire est une disposition circulaire d’objets distincts dans un cercle, où l’ordre des objets est pris en compte. Contrairement aux permutations linéaires, les permutations circulaires ne distinguent pas entre les éléments situés à la même distance du point de référence.​ Cette propriété rend les permutations circulaires particulièrement utiles pour résoudre des problèmes de combinatoire impliquant des arrangements circulaires, tels que l’ordonnancement de tâches ou la planification de routes.​

Il est important de noter que les permutations circulaires ne sont pas des permutations linéaires avec une contrainte de circularité, mais plutôt une classe de permutations spécifiques qui nécessitent une approche distincte pour leur étude et leur résolution.

I.​ Définitions et concepts fondamentaux

Ce chapitre couvre les définitions et les concepts de base liés aux permutations circulaires, y compris la formule des permutations et l’arrangement circulaire.​

La formule des permutations

La formule des permutations est un outil essentiel pour dénombrer les arrangements circulaires d’objets distincts.​ Elle est exprimée par la formule suivante ⁚

P(n) = (n-1)!​

Où P(n) représente le nombre de permutations circulaires possibles pour n objets distincts.

Cette formule permet de calculer facilement le nombre de permutations circulaires pour un ensemble d’objets donné. Par exemple, si l’on considère 5 objets distincts, le nombre de permutations circulaires possibles est égal à P(5) = (5-1)!​ = 4! = 24.

La formule des permutations est fondamentale pour résoudre les problèmes de combinatoire impliquant des arrangements circulaires.​

L’arrangement circulaire

L’arrangement circulaire est une disposition d’objets distincts dans un cercle, où chaque objet occupe une position unique.​ Cette disposition est différente de l’arrangement linéaire, où les objets sont disposés sur une ligne droite.​

Dans un arrangement circulaire, il n’y a pas de début ou de fin, contrairement à l’arrangement linéaire.​ Cela signifie que les objets peuvent être déplacés circulairement sans changer l’arrangement global.​

Les arrangements circulaires sont couramment rencontrés dans divers domaines, tels que la chimie (formules structurales), la biologie (structures moléculaires), l’informatique (algorithmes de traitement de données) et la physique (théorie des graphes).​

L’étude des arrangements circulaires est essentielle pour comprendre les propriétés et les comportements des systèmes qui les impliquent.​

II.​ Démonstration mathématique

La démonstration mathématique des permutations circulaires repose sur les principes de base de la combinatoire et de l’algèbre, permettant de dériver les formules et les théorèmes fondamentaux.​

Principes de comptage

Les principes de comptage sont essentiels dans la démonstration mathématique des permutations circulaires. Il s’agit d’établir les règles de base pour compter le nombre de permutations possibles dans une arrangement circulaire.​

Le premier principe est le principe de multiplication, qui stipule que si nous avons n choix pour la première place, n-1 choix pour la deuxième place٫ .​.​.​٫ 1 choix pour la dernière place٫ alors le nombre total de permutations est égal au produit de ces choix.​

Le deuxième principe est le principe d’addition, qui stipule que si nous avons deux ou plusieurs ensembles de permutations distinctes, alors le nombre total de permutations est égal à la somme des permutations de chaque ensemble.​

Expressions algébriques

Dans le cadre des permutations circulaires, les expressions algébriques jouent un rôle crucial pour représenter les formules de permutation.​ Ces expressions permettent de calculer le nombre de permutations possibles pour un arrangement circulaire donné.​

Soit n le nombre d’objets à permuter, la formule de permutation circulaire peut être représentée par l’expression algébrique suivante ⁚ (n-1)!.​ Cette expression indique que le nombre de permutations circulaires possibles est égal au produit des entiers de 1 à n-1.​

Ces expressions algébriques sont essentielles pour résoudre les problèmes de combinatoire impliquant des permutations circulaires, et permettent de généraliser les résultats à différents cas d’étude.​

III.​ Exemples de permutations circulaires

Ce chapitre présente des exemples concrets de permutations circulaires, illustrant l’application de la formule et des principes de comptage dans des contextes variés.​

Exemple 1 ⁚ Permutation de 5 objets

Soit un ensemble de 5 objets distincts {A, B, C, D, E} que nous souhaitons arranger en cercle.​ Nous devons calculer le nombre de permutations circulaires possibles.​

Pour cela, nous appliquons la formule des permutations circulaires ⁚ P(n) = (n-1)!​.​

Dans ce cas, n = 5, donc P(5) = (5-1)! = 4!​ = 24.​

Ainsi, il existe 24 permutations circulaires différentes pour cet ensemble de 5 objets.

Cet exemple illustre bien l’importance de prendre en compte la circularité de l’arrangement lors du calcul des permutations.​

Exemple 2 ⁚ Permutation de 7 objets

Considérons un ensemble de 7 objets distincts {A٫ B٫ C٫ D٫ E٫ F٫ G} que nous voulons arranger en cercle.​

Nous devons déterminer le nombre de permutations circulaires possibles.​

Nous appliquons à nouveau la formule des permutations circulaires ⁚ P(n) = (n-1)!.​

Dans ce cas, n = 7, donc P(7) = (7-1)!​ = 6!​ = 720.​

Ainsi, il existe 720 permutations circulaires différentes pour cet ensemble de 7 objets.​

Cet exemple montre comment la formule des permutations circulaires peut être appliquée à des ensembles de taille plus importante.​

Il est important de noter que le nombre de permutations circulaires augmente rapidement avec la taille de l’ensemble.​

IV.​ Exercices résolus

Cette section présente des exercices de permutations circulaires résolus, illustrant l’application des concepts et formules étudiés précédemment, ainsi que les méthodes de résolution de problèmes de combinatorique.​

Exercice 1 ⁚ Calcul de la permutation circulaire

Soit un groupe de 8 personnes assises autour d’une table ronde.​ Combien de façons différentes peuvent-elles s’asseoir ?​

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser la formule des permutations circulaires ⁚ n!​ / (n-1) !​٫ où n est le nombre d’objets à permuter.

Dans ce cas, n = 8, donc le nombre de permutations circulaires est égal à ⁚

8! / (8-1) !​ = 8! / 7!​ = 40320 / 5040 = 8.​

Il y a donc 8 façons différentes pour les 8 personnes de s’asseoir autour de la table ronde.

Exercice 2 ⁚ Résolution d’un problème de combinatorique

Un cercle de 10 fleurs est à créer en utilisant 5 roses, 3 lis et 2 tulipes.​ Combien de façons différentes peut-on disposer ces fleurs ?​

Pour résoudre ce problème, nous devons utiliser la formule des permutations circulaires avec des répétitions.​ Nous pouvons diviser le cercle en 10 cases et remplir chaque case par une fleur.

Le nombre de permutations circulaires est égal à ⁚

(10-1)! / (5!​ × 3!​ × 2!​) = 9!​ / (5!​ × 3!​ × 2!​) = 45360.​

Il y a donc 45360 façons différentes de disposer les fleurs dans le cercle.​

Cet exercice illustre l’application des permutations circulaires dans les problèmes de combinatorique avec des répétitions.​