Fonction surjective : ce que c’est, propriétés et exercices résolus

Introduction

La fonction surjective est une notion fondamentale en mathématiques supérieures, qui permet de définir une relation de correspondance entre un ensemble domaine et un ensemble image․

Définition de la fonction surjective

Une fonction $f$ est dite surjective si tout élément de l’ensemble image a au moins un antécédent dans l’ensemble domaine․ Autrement dit, pour tout $y$ dans l’ensemble image, il existe au moins un $x$ dans l’ensemble domaine tel que $f(x) = y$․ Cette définition implique que l’ensemble image est égal à l’ensemble des valeurs prises par la fonction․

En termes de théorie des ensembles, cela signifie que l’image de la fonction est égale à l’ensemble image․ Cette propriété permet de caractériser les fonctions surjectives et de les distinguer des fonctions injectives ou bijectives․

La définition de la fonction surjective est fondamentale en mathématiques supérieures, car elle permet de définir des applications linéaires et des relations de correspondance entre les ensembles․

I․ Définition et propriétés

Cette partie présente la définition et les propriétés fondamentales des fonctions surjectives, ainsi que leurs implications en mathématiques supérieures et en analyse mathématique․

La fonction surjective ⁚ définition et exemples

Une fonction f est dite surjective si tout élément y de l’ensemble image a au moins un antécédent x dans l’ensemble domaine, c’est-à-dire que pour tout y dans l’ensemble image, il existe au moins un x dans l’ensemble domaine tel que f(x) = y․

Par exemple, la fonction f(x) = x^2 de ℝ dans ℝ est surjective car tout réel y est égal à x^2 pour au moins un réel x․ De même, la fonction f(x) = 2x de ℝ dans ℝ est surjective car tout réel y est égal à 2x pour au moins un réel x․

Ces exemples montrent que la surjectivité est une propriété importante des fonctions, qui permet de caractériser les relations entre les éléments des ensembles domaine et image․

Propriétés de la fonction surjective

Les fonctions surjectives possèdent certaines propriétés importantes qui les caractérisent․

• La propriété de surjectivité est conservée par composition ⁚ si f et g sont deux fonctions surjectives, alors leur composition f ∘ g est également surjective․
• Les fonctions surjectives préservent les relations d’égalité ⁚ si f est surjective et x = y, alors f(x) = f(y)․
• Les fonctions surjectives peuvent être utilisées pour définir des applications linéaires entre des espaces vectoriels․

Ces propriétés montrent que les fonctions surjectives jouent un rôle central dans la théorie des ensembles et dans l’analyse mathématique, car elles permettent de caractériser les relations entre les éléments des ensembles et de définir des applications linéaires․

Rôle de la fonction surjective dans les mathématiques supérieures

Les fonctions surjectives jouent un rôle essentiel dans les mathématiques supérieures, notamment en analyse mathématique et en théorie des ensembles․

Elles permettent de définir des applications linéaires entre des espaces vectoriels, ce qui est crucial en analyse fonctionnelle et en algèbre linéaire․

De plus, les fonctions surjectives sont utilisées pour étudier les propriétés des ensembles, comme la compacité ou la connexité, et pour définir des notions importantes comme la continuité et la différentiabilité․

Enfin, les fonctions surjectives sont essentielles en théorie des ensembles pour définir des relations d’équivalence et des classes d’équivalence, qui sont fondamentales en topologie et en géométrie algébrique․

II․ Relation avec d’autres concepts

Ce chapitre explore les liens entre la fonction surjective et d’autres notions fondamentales en mathématiques, telles que la fonction injective, la fonction bijective et la composition de fonctions․

Fonction injective et fonction bijective ⁚ différences et similarités

Les fonctions injectives et bijectives sont deux notions étroitement liées à la fonction surjective․ Une fonction injective est une fonction qui associe chaque élément de l’ensemble domaine à un unique élément de l’ensemble image․ Une fonction bijective, quant à elle, est à la fois injective et surjective․

Les différences entre ces trois types de fonctions résident dans les propriétés de l’application linéaire․ La fonction surjective garantit que tous les éléments de l’ensemble image ont au moins un antécédent, tandis que la fonction injective assure que chaque élément de l’ensemble domaine a au plus un image․ La fonction bijective, en revanche, combine ces deux propriétés․

Ces distinctions sont essentielles pour comprendre les relations entre les ensembles et les applications qui les lient, ainsi que pour résoudre des problèmes complexes en analyse mathématique et en théorie des ensembles․

La relation de correspondance et l’ensemble image

La fonction surjective établit une relation de correspondance entre l’ensemble domaine et l’ensemble image․ Cette relation est caractérisée par la propriété que chaque élément de l’ensemble image a au moins un antécédent dans l’ensemble domaine․

L’ensemble image est donc l’ensemble de tous les éléments qui ont au moins un antécédent dans l’ensemble domaine․ Il est important de noter que l’ensemble image peut être égal à l’ensemble codomaine, mais ce n’est pas toujours le cas․

La compréhension de cette relation de correspondance est essentielle pour définir et travailler avec les fonctions surjectives, notamment dans le contexte de la théorie des ensembles et de l’analyse mathématique․

La composition de fonctions et l’application linéaire

La composition de fonctions est une opération fondamentale en mathématiques supérieures, qui consiste à combiner deux ou plusieurs fonctions pour en obtenir une nouvelle․ Dans le contexte des fonctions surjectives, la composition de fonctions permet de créer de nouvelles fonctions surjectives․

L’application linéaire est un cas particulier de composition de fonctions, où les fonctions sont linéaires․ Les applications linéaires surjectives jouent un rôle crucial dans de nombreux domaines des mathématiques, tels que l’algèbre linéaire et l’analyse fonctionnelle․

La composition de fonctions et les applications linéaires surjectives sont utilisées pour résoudre des problèmes de modélisation, d’optimisation et d’analyse de systèmes complexes․

III․ Théorie des ensembles et analyse mathématique

La fonction surjective est un élément clé dans la théorie des ensembles, permettant de définir les relations entre les ensembles et leurs propriétés․

La fonction surjective dans le contexte de la théorie des ensembles

Dans le cadre de la théorie des ensembles, la fonction surjective joue un rôle central dans la définition des relations entre les ensembles․ En effet, une fonction surjective permet de définir une relation de correspondance entre deux ensembles, à savoir l’ensemble domaine et l’ensemble image․ Cette relation est caractérisée par le fait que chaque élément de l’ensemble image est atteint par au moins un élément de l’ensemble domaine․

Cette propriété fondamentale de la fonction surjective permet de définir les notions d’injectivité et de bijectivité, qui sont essentielles dans l’étude des relations entre les ensembles․ De plus, la fonction surjective est utilisée dans de nombreux domaines des mathématiques supérieures, tels que l’analyse mathématique et la théorie des ensembles․

L’importance de la fonction surjective dans l’analyse mathématique

La fonction surjective joue un rôle crucial dans l’analyse mathématique, car elle permet de définir des applications linéaires et de décrire les transformations entre les espaces vectoriels․ En effet, une fonction surjective peut être utilisée pour définir une application linéaire entre deux espaces vectoriels, ce qui est essentiel dans l’étude des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles․

De plus, la fonction surjective est utilisée dans la théorie des opérateurs pour définir les opérateurs bornés et les opérateurs compactes, qui sont des notions fondamentales dans l’analyse fonctionnelle․ Enfin, la fonction surjective est également utilisée dans la résolution des équations intégrales et des équations différentielles, ce qui montre son importance dans de nombreux domaines de l’analyse mathématique․

IV․ Exercices résolus

Cette partie présente quelques exercices résolus pour illustrer les propriétés et les applications des fonctions surjectives dans différents contextes mathématiques․

Exercice 1 ⁚ démontrer que la fonction est surjective

Soit f la fonction définie par f(x) = 2x + 1, de ℝ dans ℝ․ Montrer que f est une fonction surjective․

Pour cela, nous devons montrer que tout élément y de ℝ est atteint par f, c’est-à-dire qu’il existe au moins un x de ℝ tel que f(x) = y․

Soit y un élément de ℝ․ Nous devons trouver x tel que 2x + 1 = y․ En résolvant cette équation, nous obtenons x = (y ౼ 1)/2․ Donc, pour tout y de ℝ, il existe x de ℝ tel que f(x) = y․ Ainsi, f est surjective․

Exercice 2 ⁚ trouver l’ensemble image d’une fonction surjective

Soit f la fonction définie par f(x) = x², de ℝ dans ℝ․ Montrer que f est une fonction surjective et trouver son ensemble image․

Pour montrer que f est surjective, nous devons montrer que tout élément y de ℝ est atteint par f․ Il suffit de prendre x = √y si y ≥ 0 et x = -√y si y < 0․

L’ensemble image de f est donc l’ensemble des réels positifs, noté ℝ⁺․ En effet, tout réel positif est atteint par f, car f(√y) = y pour tout y ≥ 0․

Exercice 3 ⁚ composer deux fonctions surjectives

Soient f et g deux fonctions surjectives définies respectivement par f(x) = 2x et g(x) = x + 1٫ toutes deux de ℝ dans ℝ․ Montrer que la composition de fonctions g ∘ f est également une fonction surjective․

Pour cela, nous devons montrer que tout élément y de ℝ est atteint par g ∘ f․ Soit y un élément de ℝ․ Alors, il existe x de ℝ tel que f(x) = y/2 ౼ 1/2, car f est surjective․ Alors, g ∘ f(x) = y, ce qui montre que g ∘ f est surjective․