I. Introduction à la fonction homographique
La fonction homographique est une fonction mathématique qui relie deux grandeurs proportionnelles, permettant de représenter des phénomènes physiques ou économiques. Elle joue un rôle crucial en analyse mathématique.
A. Définition de la fonction homographique
La fonction homographique est une fonction mathématique qui peut être définie comme une application entre deux ensembles de nombres réels, notée f, telle que pour tout x appartenant à l’ensemble de départ, il existe un unique y appartenant à l’ensemble d’arrivée vérifiant la relation y = f(x). Cette fonction est caractérisée par la propriété de proportionnalité, c’est-à-dire que le quotient des valeurs de y et x est constant. Elle est généralement représentée sous la forme d’une fraction de polynômes, où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes de degré fini. La fonction homographique est utilisée pour modéliser des phénomènes variés, tels que les mouvements rectilignes, les lois de la physique, les relations économiques, etc.
II. Représentation graphique de la fonction homographique
La représentation graphique de la fonction homographique permet de visualiser les relations entre les variables, facilitant ainsi l’analyse et l’interprétation des résultats.
A. Notion de représentation cartésienne
La représentation cartésienne est une méthode de visualisation des fonctions mathématiques dans un plan à deux dimensions. Elle consiste à tracer les points d’abscisse x et d’ordonnée y qui satisfont à l’équation de la fonction homographique. Cette représentation permet de mettre en évidence les propriétés de la fonction, telles que son domaine de définition, son codomaine, ses asymptotes, etc.
La représentation cartésienne est particulièrement utile pour les fonctions homographiques, car elle permet de visualiser la variation de la fonction en fonction de la variable x. Les courbes obtenues peuvent prendre différentes formes, selon la nature de la fonction homographique étudiée.
Grâce à la représentation cartésienne, il est possible d’analyser les propriétés locales et globales de la fonction homographique, ce qui est essentiel pour comprendre son comportement et ses applications dans différents domaines.
B. Courbe homographique et diagramme de fonction
La courbe homographique est la représentation graphique d’une fonction homographique dans un plan cartésien. Elle est obtenue en traçant les points d’abscisse x et d’ordonnée y qui satisfont à l’équation de la fonction homographique.
Le diagramme de fonction est une représentation visuelle qui met en évidence les propriétés de la fonction homographique, telles que ses asymptotes, ses extrema, ses points d’inflexion, etc. Il permet de visualiser les variations de la fonction en fonction de la variable x.
La courbe homographique et le diagramme de fonction sont deux outils essentiels pour l’analyse des fonctions homographiques. Ils permettent de comprendre le comportement de la fonction, de identifier ses propriétés clés et de déterminer ses applications pratiques.
En combinant la courbe homographique et le diagramme de fonction, il est possible d’obtenir une compréhension approfondie de la fonction homographique et de ses applications dans différents domaines.
III. Équations polynomiales et fonctions algébriques
Les équations polynomiales et les fonctions algébriques sont étroitement liées aux fonctions homographiques, car elles peuvent être utilisées pour les définir et les manipuler.
A. Notation mathématique pour les équations polynomiales
La notation mathématique pour les équations polynomiales est essentielle pour exprimer les relations entre les variables. On utilise généralement la forme suivante ⁚ anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0, où ai sont des coefficients réels et x la variable. Cette notation permet de définir les équations polynomiales de degré n, qui sont des équations algébriques dont le degré le plus élevé est n.
Par exemple, l’équation 2x2 + 3x ― 4 = 0 est une équation polynomiale de degré 2٫ car le degré le plus élevé est 2.
La notation mathématique pour les équations polynomiales permet de simplifier les calculs et de faciliter la résolution des équations;
B. Exemples de fonctions algébriques et équations polynomiales
Les fonctions algébriques et les équations polynomiales sont étroitement liées. Voici quelques exemples ⁚
- Fonction algébrique ⁚ f(x) = 2x2 + 3x — 4
- Équation polynomiale associée ⁚ 2x2 + 3x — 4 = 0
- Fonction algébrique ⁚ g(x) = x3 ― 2x2 + x ― 1
- Équation polynomiale associée ⁚ x3 ― 2x2 + x ― 1 = 0
Ces exemples montrent que les fonctions algébriques et les équations polynomiales sont deux faces d’une même médaille. Les équations polynomiales peuvent être utilisées pour définir des fonctions algébriques, et inversement.
IV. Exercices mathématiques résolus
Cette partie propose trois exercices résolus sur les fonctions homographiques, illustrant leur représentation graphique et leur lien avec les équations polynomiales et les fonctions algébriques.
A. Exercice 1 ⁚ Représentation graphique d’une fonction homographique
Soit la fonction homographique f(x) = 2x / (x-1). Pour représenter graphiquement cette fonction٫ nous allons tout d’abord déterminer les asymptotes verticale et horizontale.
Pour l’asymptote verticale, nous résolvons l’équation x-1 = 0, ce qui nous donne x = 1. Pour l’asymptote horizontale, nous pouvons voir que la limite de f(x) lorsque x tend vers l’infini est 2.
Ensuite, nous pouvons tracer la courbe homographique en utilisant des points de la forme (x, f(x)). Nous obtenons ainsi une courbe qui décrit le comportement de la fonction.
Cette représentation graphique nous permet de mieux comprendre le comportement de la fonction homographique, notamment en ce qui concerne les asymptotes et les valeurs extrêmes.
B. Exercice 2 ⁚ Équation polynomiale et fonction algébrique
Soit l’équation polynomiale x^2 + 3x ― 2 = 0. Nous pouvons résoudre cette équation en factorisant le polynôme ⁚ x^2 + 3x ― 2 = (x + 2)(x — 1) = 0.
Cela nous donne deux solutions ⁚ x + 2 = 0 et x, 1 = 0, ce qui implique x = -2 et x = 1 respectivement.
Nous pouvons ensuite définir la fonction algébrique f(x) = x^2 + 3x ― 2 et vérifier que f(-2) = 0 et f(1) = 0.
Cette fonction algébrique est liée à l’équation polynomiale initiale et nous permet de comprendre les propriétés de la courbe homographique associée.
En résumé, nous avons résolu l’équation polynomiale et défini la fonction algébrique correspondante, ce qui nous permet de mieux comprendre les relations entre ces deux concepts mathématiques.
C. Exercice 3 ⁚ Diagramme de fonction et courbe homographique
Considérons la fonction homographique f(x) = 2x / (x — 1). Nous allons représenter graphiquement cette fonction en construisant un diagramme de fonction.
Pour cela, nous calculons les valeurs de f(x) pour différentes valeurs de x, par exemple x = -2, x = 0, x = 1 et x = 2.
Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous ⁚
| x | f(x) |
|---|---|
| -2 | -4 |
| 0 | 0 |
| 1 | Non défini |
| 2 | 4 |
En représentant ces points dans un système de coordonnées cartésiennes, nous obtenons la courbe homographique associée à la fonction f(x) = 2x / (x — 1).