Définition et formule de la loi normale
La loi normale, également appelée loi de Gauss, est une loi de probabilité continue qui décrit la distribution des valeurs d’une variable aléatoire continue.
Elle est caractérisée par une densité de probabilité symétrique, qui suit une courbe en cloche.
La loi normale ou loi de Gauss
La loi normale, également connue sous le nom de loi de Gauss, en l’honneur de Carl Friedrich Gauss, est une loi de probabilité continue qui décrit la distribution des valeurs d’une variable aléatoire continue.
Cette loi est très utilisée en statistique pour modéliser les phénomènes qui suivent une distribution symétrique autour d’une moyenne, tels que les erreurs de mesure, les tailles des individus dans une population, les notes obtenues à un examen, etc.
La loi normale est souvent considérée comme une loi de référence, car elle permet de modéliser un grand nombre de phénomènes naturels et sociaux.
De plus, elle offre une grande flexibilité pour l’analyse des données, car elle permet de calculer facilement les probabilités d’occurrence d’événements.
Formule de la densité de probabilité
La densité de probabilité de la loi normale est définie par la formule suivante ⁚
f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-((x-μ)^2)/(2σ^2))
Où ⁚
- x représente la valeur de la variable aléatoire
- μ représente la moyenne de la loi normale
- σ représente l’écart type de la loi normale
Cette formule permet de calculer la probabilité d’occurrence d’un événement x dans une distribution normale.
La densité de probabilité est une fonction continue et positive, dont l’intégrale sur tout l’espace des valeurs possibles est égale à 1.
La formule de la densité de probabilité est fondamentale en statistique, car elle permet de modéliser et d’analyser les distributions normales.
Caractéristiques de la loi normale
La loi normale est caractérisée par deux paramètres fondamentaux ⁚ la moyenne et l’écart type, qui définissent respectivement la position et la dispersion de la distribution.
La moyenne et l’écart type
La moyenne (notée μ) représente la valeur centrale de la distribution normale, c’est-à-dire la valeur autour de laquelle les données sont distribuées de manière symétrique. Elle est utilisée pour décrire la tendance centrale de la distribution.
L’écart type (noté σ) représente la dispersion des données par rapport à la moyenne. Il mesure l’écart moyen entre les valeurs de la variable aléatoire et la moyenne. Un écart type faible indique que les données sont concentrées autour de la moyenne, tandis qu’un écart type élevé indique une grande dispersion.
Ces deux paramètres sont étroitement liés, car l’écart type dépend de la moyenne. En effet, si la moyenne change, l’écart type change également. Ils sont donc utilisés conjointement pour décrire la forme de la distribution normale.
La variance et la courbe de Gauss
La variance (notée σ²) est une mesure de la dispersion des données par rapport à la moyenne. Elle est calculée comme l’écart moyen quadratique entre les valeurs de la variable aléatoire et la moyenne.
La courbe de Gauss, également appelée courbe de distribution normale, est une représentation graphique de la loi normale. Elle prend la forme d’une courbe en cloche symétrique, avec la moyenne au centre et les écarts types à gauche et à droite.
La variance est liée à la forme de la courbe de Gauss, car elle détermine la largeur de la courbe. Une variance faible entraîne une courbe étroite, tandis qu’une variance élevée entraîne une courbe large.
La courbe de Gauss est ainsi une représentation visuelle de la distribution normale, qui permet de visualiser la moyenne, la variance et les écarts types.
Propriétés de la répartition normale centrée réduite
La répartition normale centrée réduite, notée Z, est une transformation de la répartition normale qui centre les données autour de la moyenne et les réduit à une échelle unitaire.
Cette transformation permet de standardiser les données et de faciliter les calculs de probabilités.
La répartition normale centrée réduite possède plusieurs propriétés importantes ⁚
- La moyenne est égale à 0.
- L’écart type est égal à 1.
- La variance est égale à 1.
Ces propriétés permettent de simplifier les calculs de probabilités et d’utiliser des tables de valeurs précalculées pour la répartition normale centrée réduite.
En pratique, la répartition normale centrée réduite est utilisée pour comparer les données à une moyenne et un écart type théoriques.
Exemple d’application de la loi normale
Un exemple classique d’application de la loi normale est la modélisation de la taille des individus dans une population, qui suit souvent une répartition normale centrée autour d’une moyenne avec un écart type fini.
Exemple concret ⁚ la taille des individus dans une population
Considérons une population d’adultes pour laquelle nous souhaitons étudier la répartition de la taille. Nous supposons que la taille suit une loi normale avec une moyenne de 175 cm et un écart type de 8 cm.
Cette hypothèse est raisonnable, car la taille des individus dans une population suit souvent une répartition symétrique autour d’une moyenne, avec une grande majorité des tailles se situant entre 160 cm et 190 cm.
Grâce à la loi normale, nous pouvons calculer la probabilité que la taille d’un individu tiré au hasard dans cette population soit inférieure à 165 cm٫ ou supérieure à 185 cm٫ par exemple.
Cette analyse nous permettra de mieux comprendre la répartition de la taille dans cette population et de prendre des décisions éclairées en matière de santé publique ou de conception de vêtements, par exemple.
Calcul de la probabilité d’un événement
Pour calculer la probabilité d’un événement lié à la taille dans notre population, nous allons utiliser la formule de la densité de probabilité de la loi normale.
Soit X la variable aléatoire représentant la taille d’un individu, nous cherchons à calculer la probabilité P(X ≤ 165 cm), c’est-à-dire la probabilité que la taille d’un individu soit inférieure ou égale à 165 cm.
En utilisant la formule de la densité de probabilité, nous obtenons ⁚
P(X ≤ 165 cm) = ∫-∞165 (1/σ√(2π)) * e^(-((x-μ)^2)/(2σ^2)) dx
Où μ est la moyenne (175 cm) et σ est l’écart type (8 cm).
En résolvant cette intégrale, nous obtenons la probabilité souhaitée.
Exercice résolu ⁚ loi normale et probabilité
Dans cet exercice, nous allons appliquer les concepts de la loi normale pour résoudre un problème de probabilité concret.
Énoncé de l’exercice
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne μ = 170 cm et d’écart type σ = 5 cm.
On considère une population d’individus dont la taille suit cette loi normale.
On souhaite déterminer la probabilité qu’un individu tiré au hasard ait une taille supérieure à 175 cm.
Pour cela, nous allons utiliser la formule de la densité de probabilité de la loi normale et les propriétés de la répartition normale centrée réduite.
Cet exercice permettra de mettre en pratique les connaissances acquises sur la loi normale et son application à des problèmes de probabilité concrets.
Nous allons résoudre cet exercice en suivant les étapes classiques de résolution d’un problème de probabilité ⁚
- définir l’événement étudié,
- déterminer la loi de probabilité associée,
- calculer la probabilité demandée;
Résolution de l’exercice
Pour résoudre cet exercice, nous allons d’abord centrer et réduire la variable aléatoire X en calculant la valeur de z correspondant à x = 175 cm ⁚
Ensuite, nous allons utiliser la table de la répartition normale centrée réduite pour déterminer la probabilité P(Z > 1) ⁚
P(Z > 1) = 1 ‒ P(Z ≤ 1) = 1 ⎼ 0٫8413 = 0٫1587
Finalement, nous pouvons conclure que la probabilité qu’un individu tiré au hasard ait une taille supérieure à 175 cm est de 15,87%.
Cette résolution met en évidence l’application concrète de la loi normale à un problème de probabilité et illustre l’intérêt de cette loi en statistique.
En conclusion, la loi normale est une loi de probabilité essentielle en statistique, permettant de modéliser et d’analyser les phénomènes aléatoires continues, notamment en raison de ses propriétés de symétrie et de stabilité.
Importance de la loi normale en statistique
L’importance de la loi normale en statistique réside dans sa capacité à modéliser une grande variété de phénomènes aléatoires naturels et sociaux. Elle est ainsi utilisée dans de nombreux domaines tels que la médecine, la biologie, l’économie, la physique, etc.
En effet, la loi normale permet de décrire la distribution de nombreux phénomènes tels que la taille, le poids, la pression artérielle, les résultats scolaires, les prix des actions, etc. Elle est également utilisée pour modéliser les erreurs de mesure et les fluctuations aléatoires.
De plus, la loi normale est un outil puissant pour l’analyse statistique, car elle permet de calculer des probabilités et de réaliser des tests d’hypothèses. Elle est donc un élément clé pour la prise de décision dans de nombreux domaines.