Distance euclidienne : concept, formule, calcul, exemple

Introduction

La distance euclidienne est une mesure fondamentale en mathématiques, permettant de quantifier la séparation entre deux points dans un espace euclidien, avec des applications variées en analyse de données spatiales.

Définition de la distance euclidienne

La distance euclidienne, notée d, est une mesure de la longueur du segment reliant deux points dans un espace euclidien.​ Elle est définie comme la racine carrée de la somme des carrés des écarts entre les coordonnées correspondantes des deux points.​ Cette définition repose sur les principes de base de la géométrie et de l’algèbre linéaire, où les points sont représentés par des vecteurs et les opérations sont réalisées dans l’espace vectoriel.​ La distance euclidienne est ainsi une notion centrale en mathématiques, servant de fondement à de nombreux concepts et techniques, tels que la réduction de dimensionalité ou l’analyse de données spatiales.​

I. Concept de la distance euclidienne

Le concept de distance euclidienne est lié à la notion de distance géométrique dans un espace euclidien, où les points sont définis par des coordonnées et les opérations sont vectorielles;

Contexte mathématique ⁚ l’espace euclidien

L’espace euclidien est un contexte mathématique fondamental pour l’étude de la distance euclidienne.​ Il s’agit d’un espace vectoriel normé, muni d’une métrique qui définit la longueur d’un vecteur et l’angle entre deux vecteurs.​ Les propriétés de l’espace euclidien, telles que la commutativité et l’associativité des opérations vectorielles, permettent de définir des notions telles que la distance et l’orientation. Les coordonnées cartésiennes dans un système de référence orthogonal permettent de représenter les points de l’espace euclidien et de calculer les distances entre eux. L’espace euclidien est également lié à la géométrie analytique, qui étudie les propriétés des figures géométriques à l’aide de méthodes algébriques.​

Distance géométrique et coordonnées

La distance géométrique entre deux points dans un espace euclidien est définie comme la longueur du segment qui les relie.​ Cette distance est souvent représentée par la lettre d et est exprimée en fonction des coordonnées des points.​ Dans un espace à n dimensions, les coordonnées des points A et B sont représentées par les vecteurs (x₁, x₂, …, xₙ) et (y₁, y₂, ..​.​, yₙ) respectivement.​ La distance géométrique entre ces deux points est alors fonction de ces coordonnées. La compréhension de la relation entre la distance géométrique et les coordonnées est essentielle pour la mise en œuvre de la formule de la distance euclidienne.​

II. La formule de la distance euclidienne

La formule de la distance euclidienne est une expression mathématique fondamentale qui permet de calculer la distance entre deux points dans un espace euclidien.​

Énoncé de la formule

La formule de la distance euclidienne est donnée par l’expression suivante ⁚

d(x, y) = √((x₁ ⎯ y₁)² + (x₂ ‒ y₂)² + … + (xₙ ⎯ yₙ)²)

Où x = (x₁, x₂, …, xₙ) et y = (y₁, y₂, …, yₙ) sont deux points dans un espace euclidien de dimension n, et d(x, y) représente la distance euclidienne entre ces deux points.​

Cette formule permet de calculer la distance entre deux points en utilisant les coordonnées de ces points dans l’espace euclidien.​

Il est important de noter que cette formule est valable pour tout espace euclidien de dimension finie, qu’elle soit de dimension 2٫ 3 ou plus.​

Interprétation géométrique de la formule

L’interprétation géométrique de la formule de la distance euclidienne réside dans la décomposition de la distance en sommes de carrés de distances partielles.​

En effet, la formule peut être vue comme la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés sont les distances partielles entre les coordonnées des deux points.​

Cette interprétation géométrique permet de visualiser la distance euclidienne comme une distance géométrique dans l’espace euclidien, ce qui facilite sa compréhension et son utilisation dans divers contextes mathématiques et scientifiques, tels que la vectorielle, l’algèbre linéaire et la géométrie métrique.​

Cette propriété géométrique fondamentale de la distance euclidienne en fait un outil puissant pour l’analyse de données spatiales et la réduction de dimensionalité.

III.​ Calcul de la distance euclidienne

Le calcul de la distance euclidienne implique l’application de la formule mathématique appropriée aux coordonnées des points, permettant de déterminer la distance géométrique entre eux.

Exemple de calcul en deux dimensions

Pour illustrer le calcul de la distance euclidienne, considérons deux points A et B dans un espace euclidien à deux dimensions, définis par leurs coordonnées respectives (x_A, y_A) et (x_B, y_B); La distance euclidienne entre ces deux points est donnée par la formule ⁚

d(A, B) = √((x_B ‒ x_A)² + (y_B ⎯ y_A)²)

Prenons par exemple les coordonnées A(1٫ 2) et B(4٫ 6).​ En appliquant la formule٫ nous obtenons ⁚

d(A, B) = √((4 ‒ 1)² + (6 ‒ 2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

La distance euclidienne entre les points A et B est donc égale à 5 unités.​

Application à la réduction de dimensionalité

L’une des applications notables de la distance euclidienne concerne la réduction de dimensionalité, qui vise à simplifier la représentation d’un ensemble de données en réduisant le nombre de variables ou de caractéristiques.​ Dans ce contexte, la distance euclidienne est utilisée pour mesurer la similarité entre les observations et identifier les clusters ou les structures sous-jacentes.​

Les algorithmes de réduction de dimensionalité, tels que l’analyse en composantes principales (ACP) ou l’analyse discriminante, emploient la distance euclidienne pour projeter les données dans un espace de dimension réduite, tout en préservant les relations spatiales entre les observations.​ Cette approche permet de faciliter l’interprétation des données et d’améliorer la performance des modèles de machine learning.​

IV.​ Exemple concret d’application

L’analyse de données spatiales en géographie, par exemple, utilise la distance euclidienne pour étudier la distribution des phénomènes géographiques, tels que la répartition des populations ou des ressources naturelles.​

Analyse de données spatiales avec la distance euclidienne

L’analyse de données spatiales est un domaine qui étudie les phénomènes géographiques en fonction de leur localisation dans l’espace.​ La distance euclidienne joue un rôle central dans cette analyse, car elle permet de quantifier la proximité ou la distance entre les observations spatiales.​

Les données spatiales peuvent prendre diverses formes, telles que des coordonnées géographiques, des pixels d’images satellites ou des adresses postales. La distance euclidienne est utilisée pour mesurer la similarité ou la dissimilarité entre ces données, ce qui permet d’identifier des patterns ou des tendances spatiales.​

Les applications de l’analyse de données spatiales avec la distance euclidienne sont nombreuses, notamment en urbanisme, en écologie, en marketing ou en santé publique.​ Elle permet de comprendre comment les phénomènes spatiaux interagissent et évoluent dans l’espace.​