Valeur absolue : propriétés, exemples, exercices

Introduction à la valeur absolue

La valeur absolue est une fonction mathématique fondamentale qui permet de mesurer les distances entre des points dans l’espace․ Elle est notée |x| et représente la distance entre le point x et l’origine dans une représentation géométrique․

Définition de la valeur absolue

La valeur absolue d’un nombre réel x, notée |x|, est définie comme la distance entre x et 0 sur la droite numérique․ Elle peut être calculée en utilisant la formule suivante ⁚

|x| = x si x ≥ 0

|x| = -x si x < 0

Cela signifie que la valeur absolue d’un nombre est toujours positive ou nulle, car elle représente la distance entre ce nombre et zéro․

Par exemple, la valeur absolue de 5 est 5, car la distance entre 5 et 0 est 5 unités․ De même, la valeur absolue de -3 est 3, car la distance entre -3 et 0 est 3 unités․

La valeur absolue est une fonction importante en mathématiques, car elle permet de définir des notions telles que les distances et les régions dans l’espace․ Elle est également utilisée dans de nombreux domaines tels que l’algèbre, la géométrie et le calcul․

Propriétés de la valeur absolue

Les propriétés de la valeur absolue sont essentielles pour résoudre des équations et des inégalités, ainsi que pour étudier les fonctions et les courbes․ Elles comprennent des propriétés algébriques et géométriques fondamentales․

Propriétés algébriques

Les propriétés algébriques de la valeur absolue sont fondamentales pour résoudre des équations et des inégalités․ La première propriété est la suivante ⁚ |x| = |-x|, ce qui signifie que la valeur absolue d’un nombre est la même que celle de son opposé․

De plus, la valeur absolue satisfait les propriétés suivantes ⁚

• |xy| = |x||y|, qui permet de factoriser les expressions algébriques,
• |x+y| ≤ |x| + |y|, qui est connue sous le nom d’inégalité triangulaire,
• |x-y| ≥ ||x| ⎯ |y||, qui est une conséquence directe de l’inégalité triangulaire․

Ces propriétés permettent de simplifier les expressions algébriques et de résoudre des équations et des inégalités impliquant des valeurs absolues․

Propriétés géométriques

Les propriétés géométriques de la valeur absolue sont liées à la représentation géométrique des nombres sur une droite numérique․

La valeur absolue d’un nombre x peut être interprétée comme la distance entre le point x et l’origine sur cette droite․ Cela permet de définir la distance entre deux points x et y comme étant égale à |x ⸺ y|․

De plus, la valeur absolue permet de définir les coordonnées d’un point dans un repère orthogonal․ En effet, si un point M a pour coordonnées (x, y), alors sa distance à l’origine est égale à √(x² + y²), qui est la forme géométrique de la valeur absolue․

Ces propriétés géométriques permettent de résoudre des problèmes de géométrie et de trigonométrie impliquant des distances et des coordonnées․

Elles sont également utilisées dans de nombreux domaines tels que la physique, la mécanique et la programmation informatique․

Exemples et applications

Les exemples et applications de la valeur absolue sont nombreux et variés, allant de la résolution d’équations et d’inégalités à la modélisation de phénomènes physiques, en passant par la programmation informatique et les calculs de distances et de coordonnées․

Calcul de valeurs absolues

Le calcul de valeurs absolues est une opération fondamentale en mathématiques․ Soit un nombre réel x, sa valeur absolue est notée |x| et est définie comme suit ⁚

• Si x est positif, alors |x| = x․
• Si x est nul, alors |x| = 0․
• Si x est négatif, alors |x| = -x․

Cette définition permet de généraliser les calculs de distances et de coordonnées dans l’espace․ Par exemple, si nous voulons calculer la distance entre deux points A et B de coordonnées respectives (x₁, y₁) et (x₂, y₂), nous pouvons utiliser la formule ⁚

|AB| = √((x₂ ⸺ x₁)² + (y₂ ⸺ y₁)²)

Cette formule met en jeu la valeur absolue pour calculer la distance entre les deux points․ De même, dans les équations et inégalités, la valeur absolue permet de simplifier les calculs et de résoudre des problèmes complexes․

En résumé, le calcul de valeurs absolues est une opération essentielle en mathématiques, qui permet de résoudre des problèmes variés et de modéliser des phénomènes physiques․

Résolution d’équations et inégalités

La valeur absolue est fréquemment utilisée dans la résolution d’équations et d’inégalités․ En effet, elle permet de simplifier les expressions et de résoudre des problèmes complexes․

Par exemple, considérons l’équation ⁚|x ⎯ 2| = 3․ Pour résoudre cette équation, nous devons considérer les deux cas possibles ⁚

• x ⸺ 2 ≥ 0, alors |x ⎯ 2| = x ⸺ 2 et l’équation devient x ⸺ 2 = 3․
• x ⎯ 2 < 0٫ alors |x ⎯ 2| = -(x ⸺ 2) et l’équation devient -(x ⎯ 2) = 3․

En résolvant ces deux équations, nous obtenons les solutions x = 5 et x = -1․