Égalité mathématique : propriétés, exemples et exercices résolus

Introduction

L’égalité mathématique est un concept fondamental en mathématiques, permettant de comparer et d’établir des relations entre des valeurs ou des expressions.

Cette notion est essentielle pour résoudre des équations, des inégalités et des systèmes d’équations, ainsi que pour démontrer des théorèmes et des propriétés.​

Dans ce chapitre, nous allons explorer les différentes facettes de l’égalité mathématique, ses propriétés, ses applications et ses exemples.​

Définition de l’égalité mathématique

La définition de l’égalité mathématique est une notion fondamentale qui établit une relation d’équivalence entre deux valeurs, deux expressions ou deux équations.​

Deux expressions mathématiques A et B sont dites égales, notées A = B, si et seulement si elles ont la même valeur ou représentent la même quantité.​

Cette égalité peut être vérifiée par substitution, simplification ou démonstration.​

L’égalité mathématique est une relation d’équivalence qui satisfait les trois propriétés fondamentales ⁚ la propriété réflexive, la propriété symétrique et la propriété transitive.​

Cette définition est essentielle pour travailler avec des équations, des inégalités et des systèmes d’équations.​

Importance de l’égalité mathématique dans les mathématiques

L’égalité mathématique joue un rôle central dans les mathématiques, car elle permet de définir et de manipuler les concepts fondamentaux tels que les nombres, les fonctions et les relations.

Elle est essentielle pour résoudre des équations et des inégalités, démontrer des théorèmes et des propriétés, et établir des relations entre les différents domaines des mathématiques.​

Grâce à l’égalité mathématique, les mathématiciens peuvent établir des liens entre les différentes branches des mathématiques, tels que l’algèbre, l’analyse, la géométrie et la théorie des nombres.​

En somme, l’égalité mathématique est un outil puissant qui permet aux mathématiciens de découvrir et de comprendre les propriétés et les structures des objets mathématiques.​

Propriétés de l’égalité mathématique

L’égalité mathématique satisfait trois propriétés fondamentales ⁚ la propriété réflexive, la propriété symétrique et la propriété transitive.​

Propriété réflexive

La propriété réflexive de l’égalité mathématique stipule que tout élément est égal à lui-même, c’est-à-dire que pour tout nombre ou expression mathématique a, a = a.​

Cette propriété est intuitive et seemble évidente, mais elle est fondamentale pour démontrer d’autres propriétés et théorèmes en mathématiques.​

Par exemple, si nous avons x = 5, alors x est égal à lui-même, donc x = x, ce qui vérifie la propriété réflexive.

Cette propriété est valable pour toutes les expressions mathématiques, qu’elles soient simples ou complexes.​

Propriété symétrique

La propriété symétrique de l’égalité mathématique stipule que si a est égal à b, alors b est égal à a, c’est-à-dire que pour tous les nombres ou expressions mathématiques a et b, si a = b, alors b = a;

Cette propriété permet de permuter les termes d’une égalité sans changer sa valeur.​

Par exemple, si nous avons 2 + 3 = 5, alors par propriété symétrique, 5 = 2 + 3.​

La propriété symétrique est utile pour simplifier les équations et les inégalités, et pour faciliter les calculs.​

Propriété transitive

La propriété transitive de l’égalité mathématique stipule que si a est égal à b et que b est égal à c, alors a est égal à c, c’est-à-dire que pour tous les nombres ou expressions mathématiques a, b et c, si a = b et b = c, alors a = c.​

Cette propriété permet de chaîner des égalités pour établir de nouvelles relations entre des valeurs ou des expressions.

Par exemple, si nous avons 2 + 2 = 4 et 4 = 2 × 2٫ alors par propriété transitive٫ 2 + 2 = 2 × 2.​

La propriété transitive est essentielle pour démontrer des théorèmes et des propriétés en mathématiques.​

Équations équivalentes

Les équations équivalentes sont des équations qui ont les mêmes solutions, c’est-à-dire que les valeurs qui satisfont une équation satisfont également l’autre.

Définition des équations équivalentes

Deux équations sont dites équivalentes si elles ont les mêmes solutions, c’est-à-dire que les valeurs qui satisfont l’une des équations satisfont également l’autre.​

Cette définition implique que les équations équivalentes ont les mêmes racines ou solutions, ce qui signifie que les équations peuvent être manipulées algébriquement pour obtenir une forme équivalente.​

Par exemple, les équations 2x + 3 = 5 et x + 2 = 3 sont équivalentes car elles ont la même solution, x = 1.​

Exemples d’équations équivalentes

Voici quelques exemples d’équations équivalentes ⁚

• 3x ⎼ 2 = 7 et 3x = 9, car les deux équations ont la même solution, x = 3.​
• x/2 + 1 = 3 et x/2 = 2, car les deux équations ont la même solution, x = 4.​
• 2x ⎼ 5 = 11 et 2x = 16٫ car les deux équations ont la même solution٫ x = 8.​

Ces exemples montrent que les équations équivalentes ont les mêmes solutions, mais peuvent avoir des formes différentes.​

Expressions mathématiques égales

Les expressions mathématiques égales sont des expressions algébriques qui ont la même valeur ou la même forme, mais avec des termes différents.​

Définition des expressions mathématiques égales

Les expressions mathématiques égales sont des expressions algébriques qui ont la même valeur ou la même forme, mais avec des termes différents.​ Elles satisfont à la propriété d’égalité, c’est-à-dire que leur valeur est identique, quelle que soit la valeur des variables impliquées.

Ces expressions peuvent être obtenues en appliquant des règles d’algèbre, telles que la commutativité, l’associativité et la distributivité, ou en utilisant des identités mathématiques.​

Les expressions mathématiques égales jouent un rôle essentiel dans la résolution d’équations, d’inégalités et de systèmes d’équations, ainsi que dans la démonstration de théorèmes et de propriétés.​

Exemples d’expressions mathématiques égales

Voici quelques exemples d’expressions mathématiques égales ⁚

• 2x + 3 = x + 5, car ces deux expressions ont la même valeur pour x = 2.​
• (x + 2)(x ⎼ 3) = x^2 ⎼ x ⎼ 6, car ces deux expressions sont équivalentes en vertu de la propriété distributive.​
• 3(2x ౼ 1) = 6x ౼ 3, car ces deux expressions sont égales en vertu de la propriété associative.​

Ces exemples illustrent comment des expressions mathématiques différentes peuvent avoir la même valeur ou la même forme, démontrant ainsi l’égalité mathématique.​

Fractions égales et rapports équivalents

Ce chapitre explore les notions de fractions égales et de rapports équivalents, qui sont des applications essentielles de l’égalité mathématique en arithmétique.​

Définition des fractions égales

Deux fractions sont dites égales si elles ont la même valeur numérique, c’est-à-dire si elles représentent la même partie d’un tout.​

Formellement, deux fractions a/b et c/d sont égales si et seulement si le produit en croix des numérateurs et des dénominateurs est égal, c’est-à-dire si ad = bc.​

Cette définition permet de comparer des fractions ayant des dénominateurs différents et de simplifier des expressions fractionnaires.​

Les fractions égales jouent un rôle important dans de nombreux domaines mathématiques, tels que l’algèbre, la géométrie et l’analyse.​

Définition des rapports équivalents

Deux rapports sont dits équivalents si ils ont la même valeur numérique, c’est-à-dire si ils représentent la même proportion entre deux grandeurs.​

Formellement, deux rapports a/b et c/d sont équivalents si et seulement si les produits en croix des termes sont égaux, c’est-à-dire si ad = bc.​

Cette définition permet de comparer des rapports ayant des unités différentes et de simplifier des expressions rapportées.

Les rapports équivalents jouent un rôle important dans de nombreux domaines mathématiques, tels que l’algèbre, la géométrie et l’analyse.​

Équations symétriques

Les équations symétriques sont des équations algébriques qui restent inchangées lorsqu’on permute les variables ou les termes.​

Définition des équations symétriques

Une équation symétrique est une équation algébrique qui conserve sa forme lorsque les variables ou les termes sont permutés.​ Cela signifie que l’équation reste inchangée lorsque les côtés gauche et droit sont inversés ou lorsque les variables sont échangées.​

Par exemple, l’équation x + y = y + x est symétrique car elle conserve sa forme lorsque les variables x et y sont permutées.​ De même, l’équation 2x = x + x est également symétrique car elle reste inchangée lorsque les deux côtés sont inversés.​

Exemples d’équations symétriques

Voici quelques exemples d’équations symétriques ⁚

• x + y = y + x
• 2x = x + x
• a ౼ b = -(b ౼ a)
• x^2 + y^2 = y^2 + x^2
• (x + y)^2 = (y + x)^2

Ces équations conservent leur forme lorsqu’on permute les variables ou les termes.​ Il est important de noter que les équations symétriques ne sont pas toujours triviales et peuvent nécessiter des manipulations algébriques pour être résolues.​

Exercices résolus

Ce chapitre propose des exercices résolus pour vous aider à travailler et à maîtriser les concepts d’égalité mathématique, propriétés et applications.​

Exercice 1 ⁚ Équations équivalentes

Résoudre les équations suivantes et montrer qu’elles sont équivalentes ⁚

• x + 2 = 5
• x ⎼ 3 = 0

Solution ⁚

Pour la première équation, x + 2 = 5, nous pouvons isoler x en soustrayant 2 des deux côtés, ce qui donne x = 3.​

Pour la deuxième équation, x ⎼ 3 = 0, nous pouvons ajouter 3 des deux côtés, ce qui donne également x = 3.​

Ces deux équations sont donc équivalentes car elles ont la même solution, x = 3.​

Exercice 2 ⁚ Expressions mathématiques égales

Vérifier si les expressions mathématiques suivantes sont égales ⁚

• 2(x + 1) et x + 2x + 2

Solution ⁚

Pour vérifier l’égalité, nous pouvons développer l’expression 2(x + 1) en utilisant la propriété distributive, ce qui donne 2x + 2.​

Ensuite, nous pouvons réécrire l’expression x + 2x + 2 en regroupant les termes similaires, ce qui donne également 2x + 2.​

Ces deux expressions mathématiques sont donc égales car elles ont la même forme simplifiée.​