Nombres réels : histoire, exemples, propriétés, opérations

Introduction

Les nombres réels sont une classe de nombres qui comprennent à la fois les nombres rationnels et irrationnels‚ formant un ensemble fondamental en mathématiques.​

Définition des nombres réels

En mathématiques‚ un nombre réel est un élément de l’ensemble des nombres qui peut être représenté sur une droite numérique‚ appelée aussi ligne des nombres réels. Cette droite est divisée en deux parties distinctes ⁚ la partie gauche‚ qui représente les nombres négatifs‚ et la partie droite‚ qui représente les nombres positifs.​

Un nombre réel peut être défini comme un nombre qui peut être écrit sous forme de décimale‚ soit finie‚ soit infinie non périodique.​ Les nombres réels comprennent les nombres rationnels‚ qui peuvent être écrits sous forme de fraction‚ et les nombres irrationnels‚ qui ne peuvent pas être écrits sous cette forme.​

La définition des nombres réels permet de généraliser les concepts de nombres entiers et de nombres rationnels‚ et de définir de nouvelles opérations et propriétés algébriques.​

Histoire des mathématiques

L’étude des nombres réels remonte à l’Antiquité‚ avec les travaux de mathématiciens grecs tels que Pythagore et Euclide‚ qui ont établi les fondements de la théorie des nombres.​

Les origines des nombres réels

L’origine des nombres réels remonte à l’Antiquité‚ où les mathématiciens grecs ont étudié les propriétés géométriques des figures et des solides.​ Les Grecs ont découvert que certaines longueurs‚ telles que la diagonale d’un carré‚ ne pouvaient pas être exprimées comme un rapport de nombres entiers.​

Cette découverte a mené à l’émergence de la notion de nombres irrationnels‚ qui ne peuvent pas être représentés comme un rapport de nombres entiers.​ Les mathématiciens grecs‚ tels que Théodore de Cyrène et Apollonius de Perga‚ ont développé des méthodes pour calculer approximativement ces nombres.

Ces travaux ont jeté les bases de la théorie des nombres réels‚ qui allait se développer au fil des siècles pour devenir une partie fondamentale des mathématiques.​

Le développement des nombres réels au cours de l’histoire

Au Moyen Âge‚ les mathématiciens arabes‚ tels que Al-Khwarizmi et Ibn Yunus‚ ont apporté des contributions significatives à la théorie des nombres réels‚ notamment en développant des méthodes pour extraire les racines carrées et cubiques.​

Au XVIe siècle‚ les mathématiciens européens‚ tels que François Viète et René Descartes‚ ont poursuivi le développement de la théorie des nombres réels‚ en introduisant les coordonnées cartésiennes et en établissant les bases de l’analyse algébrique.​

Au XVIIe et XVIIIe siècles‚ les mathématiciens tels que Isaac Newton et Leonhard Euler ont apporté des contributions majeures à la théorie des nombres réels‚ en développant les concepts de limite et de fonction.​

Exemples de nombres réels

Les nombres réels comprennent des exemples tels que π‚ e‚ la racine carrée de 2‚ ainsi que tous les nombres décimaux finis ou infinis‚ comme 0‚5 ou 3‚14159.​.​.​

Exemple de nombre réel positif

Un exemple de nombre réel positif est le nombre π (pi)‚ qui représente le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre.​

Ce nombre est irrational‚ ce qui signifie qu’il ne peut pas être exprimé sous forme de fraction‚ mais il peut être approché par des décimaux‚ tels que 3‚14159.​.​.​

Le nombre π est un exemple classique de nombre réel positif‚ car il est supérieur à zéro et peut être représenté sur la droite numérique.​

En mathématiques‚ le nombre π est utilisé dans de nombreux domaines‚ tels que la géométrie‚ la trigonométrie et l’analyse.​

Ce nombre réel positif joue un rôle central dans de nombreuses applications scientifiques et techniques‚ notamment en physique‚ en ingénierie et en astronomie.​

Exemple de nombre réel négatif

Un exemple de nombre réel négatif est le nombre -√2‚ qui est la racine carrée de -2.

Ce nombre est irrational‚ car il ne peut pas être exprimé sous forme de fraction‚ mais il peut être approché par des décimaux‚ tels que -1‚41421..​;

Le nombre -√2 est un exemple classique de nombre réel négatif‚ car il est inférieur à zéro et peut être représenté sur la droite numérique.​

En mathématiques‚ le nombre -√2 est utilisé dans de nombreux domaines‚ tels que l’algèbre et l’analyse.

Ce nombre réel négatif joue un rôle important dans la résolution d’équations et d’inégalités‚ notamment dans les problèmes de maximisation et de minimisation.​

Propriétés algébriques des nombres réels

Les nombres réels possèdent des propriétés algébriques fondamentales‚ telles que la commutativité‚ l’associativité et la distributivité‚ qui régissent les opérations entre eux.​

La propriété commutative

La propriété commutative est une propriété algébrique fondamentale des nombres réels‚ qui stipule que l’ordre des facteurs ne change pas le résultat d’une opération.​ En d’autres termes‚ pour tous nombres réels a et b‚ nous avons ⁚

• a + b = b + a (commutativité de l’addition)
• a × b = b × a (commutativité de la multiplication)

Cette propriété permet de simplifier les calculs et de faciliter les manipulations algébriques.​ Elle est également essentielle dans de nombreux domaines des mathématiques‚ tels que l’algèbre linéaire et le calcul différentiel.​

La propriété associative

La propriété associative est une autre propriété algébrique fondamentale des nombres réels‚ qui stipule que l’ordre dans lequel les opérations sont effectuées ne change pas le résultat.​ En d’autres termes‚ pour tous nombres réels a‚ b et c‚ nous avons ⁚

• (a + b) + c = a + (b + c) (associativité de l’addition)
• (a × b) × c = a × (b × c) (associativité de la multiplication)

Cette propriété permet de grouper les opérations de manière flexible et de simplifier les expressions algébriques. Elle est essentielle dans de nombreux domaines des mathématiques‚ tels que l’algèbre et l’analyse.​

Opérations sur les nombres réels

Les opérations sur les nombres réels comprennent l’addition‚ la soustraction‚ la multiplication et la division‚ qui obéissent à des règles spécifiques et des propriétés algébriques.​

Addition des nombres réels

L’addition des nombres réels est une opération binaire qui consiste à combiner deux nombres réels pour obtenir un autre nombre réel.​ Cette opération est commutative‚ c’est-à-dire que l’ordre des opérandes ne change pas le résultat. Ainsi‚ pour tout nombre réel a et tout nombre réel b‚ on a ⁚

De plus‚ l’addition des nombres réels est associative‚ ce qui signifie que l’on peut regrouper les opérandes de manière différente sans changer le résultat.​ Ainsi‚ pour tout nombre réel a‚ tout nombre réel b et tout nombre réel c‚ on a ⁚

• (a + b) + c = a + (b + c)

Soustraction des nombres réels

La soustraction des nombres réels est une opération binaire qui consiste à retirer un nombre réel d’un autre nombre réel pour obtenir un autre nombre réel.​ Cette opération est non commutative‚ c’est-à-dire que l’ordre des opérandes change le résultat.​ Ainsi‚ pour tout nombre réel a et tout nombre réel b‚ on a ⁚

• a ⸺ b ≠ b — a en général

Cependant‚ la soustraction des nombres réels est associative à gauche‚ ce qui signifie que l’on peut regrouper les opérandes de manière différente dans un certain ordre sans changer le résultat; Ainsi‚ pour tout nombre réel a‚ tout nombre réel b et tout nombre réel c‚ on a ⁚

• a ⸺ (b ⸺ c) = (a — b) + c

Multiplication des nombres réels

La multiplication des nombres réels est une opération binaire qui consiste à combiner deux nombres réels pour obtenir un autre nombre réel.​ Cette opération est commutative‚ c’est-à-dire que l’ordre des opérandes ne change pas le résultat. Ainsi‚ pour tout nombre réel a et tout nombre réel b‚ on a ⁚

De plus‚ la multiplication des nombres réels est associative‚ ce qui signifie que l’on peut regrouper les opérandes de manière différente sans changer le résultat.​ Ainsi‚ pour tout nombre réel a‚ tout nombre réel b et tout nombre réel c‚ on a ⁚

• (a × b) × c = a × (b × c)

Division des nombres réels

La division des nombres réels est une opération binaire qui consiste à trouver le quotient de deux nombres réels.​ Cette opération est notée par le symbole “/” ou “÷”.​ Pour tout nombre réel a et tout nombre réel non nul b‚ on définit le quotient a divisé par b comme étant le nombre réel c tel que ⁚

• a = b × c

Notez que la division par zéro est interdite‚ car elle n’a pas de sens mathématique.​ De plus‚ la division des nombres réels n’est pas commutative‚ c’est-à-dire que l’ordre des opérandes change le résultat.​ Ainsi‚ en général‚ on a ⁚

Ordre dans les nombres réels

L’ordre dans les nombres réels est défini par une relation d’ordre totale‚ permettant de comparer et de classer les nombres réels selon leur grandeur.​

La relation d’ordre

La relation d’ordre dans les nombres réels est définie par la notation “a ≤ b“‚ où a et b sont deux nombres réels‚ signifiant que a est inférieur ou égal à b. Cette relation satisfait les propriétés suivantes ⁚

• Réflexivité ⁚ pour tout nombre réel a‚ a ≤ a.
• Transitivité ⁚ pour tous nombres réels a‚ b et c‚ si a ≤ b et b ≤ c‚ alors a ≤ c.​
• Anti-symétrie ⁚ pour tous nombres réels a et b‚ si a ≤ b et b ≤ a‚ alors a = b.

Cette relation d’ordre permet de comparer et de classer les nombres réels selon leur grandeur.​